如图,已知直线y=x+3的图像与x轴,y轴分别交于A,B两点.直线l经过原点,与线段AB交于点C,并把△AOB的面积分为2∶1的两部分,求直线l的解析式.

解:∵直线y=x+3的图像与x,y轴分别交于A,B两点,

∴点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(0,3).

∴|OA|=3,|OB|=3.

∴=|OA|·|OB|=×3×3=.

设直线l的解析式为y=kx(k≠0).

∵直线l把△AOB的面积分为2∶1的两部分,直线l与线段AB交于点C,

∴分两种情况来讨论:

①当∶=2∶1时,设点C的坐标为(x₁, y₁).

又∵=+=,

∴=×=3.

即=·|OA|·||=×3×|y₁|=3.

∴y₁=±2,

又∵点C在线段AB上,可知y₁=2.

∴2=x₁+3,∴x₁=-1.

∴点C的坐标为(-1,2).

把点C的坐标(-1,2)代人y=kx中,得2=-1·k,∴k=-2.

∴直线l的解析式为y=-2x.

②当∶=1∶2时,设点C的坐标为(x₂,y₂).

又∵=+=,

∴=×=,

即=·|OA|·||=·3·||=.

∴=±1,

又∵点C在线段AB上,可知=1.

∴1=+3,

∴=-2.

把点C的坐标(-2,1)代入y=kx中,得1=-2k,

∴k=-.

∴直线l的解析式为y=-x.

∴直线l的解析式为y=-2x或y=-x.